Las órbitas de las estrellas binarias (II)


Las órbitas de las estrellas binarias, son en mayor o menor medida con forma elíptica. En la siguiente figura, a es el  semieje mayor, b el semieje menor (b<a). O el centro geométrico de la elipse y tanto F como F' los focos. Cuanto mayor sea la distancia F a F' más elíptica será la órbita. 
 
En este caso tenemos que:
      r + r' = 2a
y siendo e la excentricidad (e<1). La excentricidad es el desplazamiento del foco del centro. Tenemos la fórmula que relaciona a, b y e (pi vale 3,1415927..., ^2 indica elevado al cuadrado y ^(1/2) equivale a la raíz cuadrada):
      b = a ( 1 - e^2 )^(1/2)
y el área de la elipse será:
      A = pi a b = pi a^2 ( 1 - e^2 )^(1/2)

Una vez explicado el concepto de excentricidad, podemos describir las órbitas del siguiente modo:
   1.- Elipse: Su excentricidad es e<1 y es una órbita cerrada tal y como siguen planetas y sistemas binarios.
   2.- Círculo: Su excentricidad es e=0
   3.- Hipérbola: Su excentricidad es e>1 y es una órbita cerrada, tal y como siguen los cometas que no son periódicos.
   4.- Parábola: Su excentricidad es e=1

La estrella más masiva es la estrella primaria, localizada en F, mientras que la llamada compañera es menos masiva. En la imagen 2, P sería la estrella compañera y su periastro (máxima aproximación a la estrella primaria) sería el punto A. Para simplificar, se puede suponer que una estrella es estacionaria y la otra es la que orbita, y que la órbita no está inclinada con respecto al plano del cielo. Las dos estrellas orbitan alrededor del centro de masas (cdm) una diametralmente opuesta a la otra. Como se puede ver el semieje mayor a en la órbita relativa equivale a la distancia media de separación entre las estrellas.


En el caso de la segunda ley, los dos cuerpos barren una área constante por unidad de tiempo. Se el siguiente gráfico:


Entonces:
   alfa = l / r  (en radianes)
El área del triángulo sera 1/2 x base x altura, luego:
   Área del triángulo = 1/2 r l = 1/2 alfa r^2
Como el área barrida es constante en el tiempo:
   Área barrida por unidad de tiempo = 1/2 ( alfa r^2 ) / delta(t) r = 1/2 ( w r^2) = constante
donde
   w = alfa / delta(t)
es la velocidad angular instantánea. (delta(t) indica un intervalo de tiempo). Como el área de la elipse es:
   A = pi a^2 ( 1 - e^2 )^(1/2)
Podemos introducir el periodo orbital:
   w r^2 = ( 2 pi a^2 ( 1 - e^2 )^(1/2) ) / P
Así, mediante la segunda ley se puede demostrar que el momento angular orbital es conservado.

2 comentarios:

  1. Nota:
    El artículo debería comenzar como: "
    Las órbitas de las estrellas binarias, son en mayor o menor medida con forma elíptica."

    Disculpad el error

    Un saludo,
    Fran

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